circuitos logicos: ALGEBRA DE BOOLE

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948.

El algebra de Boole se inicia a inicios de la decada del 1300 en roma con uno de los matematicos mas conocidos de esas epocas
El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde distintos puntos de vista matemáticos:

Principio de dualidad

El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.

Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta.

	Adición	Producto
1	$a + \bar {a} = 1 \,$	$a \cdot \bar{a} = 0$
2	$a + 0 = a \,$	$a \cdot 1 = a \,$
3	$a + 1 = 1 \,$	$a \cdot 0 = 0 \,$
4	$a + a = a \,$	$a \cdot a = a \,$
5	$a + b= b+ a \,$	$a \cdot b = b \cdot a \,$
6	$a + (b + c) = (a + b) + c \,$	$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \,$
7	$a + ( b \cdot c ) = (a + b) \cdot (a + c) \,$	$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \,$
8	$a + a \cdot b = a \,$	$a \cdot (a + b) = a \,$
9	$\overline {(a + b)} = \bar {a} \cdot \bar {b}$	$\overline {(a \cdot b)} = \bar {a} + \bar {b} \,$

Se ha definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:

Operación suma

a	b	a + b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

$a + b = c \,$

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.

Operación producto

a	b	a $\cdot$ b
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

La operación producto ( $\cdot$ ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

$a \cdot b = c$

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.

Operación negación

a	$\bar {a}$
0	1
1	0

La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

$\bar {a} = b \,$

Un interruptor inverso equivale a esta operación:

Operaciones combinadas

a	b	$\bar {a} + {b}$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:

$\bar {a} + {b} = c \,$