circuitos logicos

ALGEBRA DE BOOLE

Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948.

El algebra de Boole se inicia a inicios de la decada del 1300 en roma con uno de los matematicos mas conocidos de esas epocas
El Álgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde distintos puntos de vista matemáticos:

Principio de dualidad

El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.

Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta.

	Adición	Producto
1	$a + \bar {a} = 1 \,$	$a \cdot \bar{a} = 0$
2	$a + 0 = a \,$	$a \cdot 1 = a \,$
3	$a + 1 = 1 \,$	$a \cdot 0 = 0 \,$
4	$a + a = a \,$	$a \cdot a = a \,$
5	$a + b= b+ a \,$	$a \cdot b = b \cdot a \,$
6	$a + (b + c) = (a + b) + c \,$	$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \,$
7	$a + ( b \cdot c ) = (a + b) \cdot (a + c) \,$	$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \,$
8	$a + a \cdot b = a \,$	$a \cdot (a + b) = a \,$
9	$\overline {(a + b)} = \bar {a} \cdot \bar {b}$	$\overline {(a \cdot b)} = \bar {a} + \bar {b} \,$

Se ha definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales:

Operación suma

a	b	a + b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

$a + b = c \,$

Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0.

Operación producto

a	b	a $\cdot$ b
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

La operación producto ( $\cdot$ ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A:

$a \cdot b = c$

Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores

solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0.

Operación negación

a	$\bar {a}$
0	1
1	0

La operación negación presenta el opuesto del valor de a:

$\bar {a} = b \,$

Un interruptor inverso equivale a esta operación:

Operaciones combinadas

a	b	$\bar {a} + {b}$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:

$\bar {a} + {b} = c \,$

Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.

La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad.

COMPONENTES DE LOS CIRCUITOS LÓGICOS

Los circuitos cuyos componentes realizan operaciones análogas a las que indican los operadores lógicos se llaman "circuitos lógicos" o "circuitos digitales".

Los operadores lógicos básicos son "Y", "O" y "N", los cuales se representan respectivamente con los símbolos: , y . Por eso, los componentes que realizan operaciones análogas se llaman "componentes básicos" . Los componentes que resultan de la combinación de dos o más componentes básicos se llaman "componentes combinados" .

Todos los componentes arrojan una señal de salida, pero pueden recibir una o dos señales de entrada. En general, se los llama "compuertas" (en inglés, gates) . Las compuertas se construyen con resistores, transistores, diodos, etc., conectados de manera que se obtengan ciertas salidas cuando las entradas adoptan determinados valores. Los circuitos integrados actuales tienen miles de compuertas lógicas.

En el cuadro siguiente se presenta la lista completa de los componentes de los circuitos lógicos. (En letras negritas están los nombres en castellano y en letras normales los nombres en inglés.)

De la asociación de componentes resultan elementos más complejos que ya no se llaman "componentes" sino, por ejemplo: "sumadores" (adders); "decodificadores" (decoders); "multiplexores" (multiplexers); "memorias" (memories); "microprocesadores" (microprocessors). Para representar un circuito lógico se pueden emplear símbolos para componentes (básicos y combinados) y elementos complejos, pero siempre esa representación se puede reducir a otra que sólo incluya los componentes básicos.

A continuación se presenta un applet de Java creado por C. E. Efstathiou, del Departamento de Química de la Universidad de Atenas (Grecia), con el cual el lector puede:
(1) comprobar la validez de las tablas de verdad de los componentes presentada en el cuadro anterior, y
(2) experimentar el uso de elementos más complejos.

ISOMORFISMO

La aplicación de la lógica proposicional a los circuitos eléctricos es posible en virtud del isomorfismo existente entre ambos. Llamamos isomorfismo a la relación de igualdad estructural que existe entre dos objetos. En efecto, el matemático e ingeniero norteamericano Claudio Shannon – uno de los diseñadores de las modernas computadoras – descubrió, en 1936, el isomorfismo (igualdad de formas básicas) existentes entre la lógica de proposiciones y la teoría de los circuitos eléctricos. Gracias a este descubrimiento se ha desarrollado una teoría sistemática de los circuitos eléctricos y ésta ha hecho posible resolver cualquier problema concerniente a la construcción y funcionamiento de estos circuitos básicos de las computadoras electrónicas. Para hacer el isomorfismo es necesario considerar sólo 3 funciones lógicas: la conjunción, la disyunción y la negación. Como a través de esas 3 funciones básicas se puede definir las demás funciones lógicas, entonces el isomorfismo es total.
La verdad o la falsedad de una proposición puede representarse por “1” y “0”. Mientras que el “1” indica presencia, el “0” indica ausencia, de ahí que 1 y 0 se asocian a lo verdadero y lo falso. PRIMER ISOMORFISMO Una proposición simple puede ser verdadera o falsa. De igual manera podemos decir que un interruptor puede estar cerrado o abierto. Ser verdadero es como estar cerrado y ser falso es como estar abierto. Las posibilidades son análogas: V = “1” = interruptor cerrado → pasa la información V = “0” = interruptor abierto → no pasa la información SEGUNDO ISOMORFISMO Ahora bien, una proposición compuesta puede ser verdadera o falsa. De igual manera, si fluye la información entonces el foquito encenderá, y si no fluye entonces el foquito no encenderá. El estado de encendido y apagado corresponden a los valores de verdad y falsedad respectivamente. De nuevo, las posibilidades son análogas: V = “1” = foco prendido → la información está pasando F = “0” = foco apagado → la información no está pasando

ESTADO DEL CIRCUITO LÓGICO	INTERRUPTOR	SITUACIÓN DEL CIRCUITO LÓGICO
F=0	ABIERTO	APAGADO
V=1	CERRADO	ENCENDIDO

El interruptor determina si la información pasa o no pasa. El foquito forma parte del cable y, por tanto, también su situación depende de los interruptores.

CIRCUITO EN SERIE: Es aquel que está constituido por interruptores dispuestos uno detrás de otro. Se le representa mediante una conjunción. BASTA QUE UNO DE LOS INTERRUPTORES ESTÉ ABIERTO PARA QUE EL FOCO NO PRENDA

P	Q	p∧q	Circuito Lógico
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

CIRCUITO EN PARALELO: Es aquel que está constituido por interruptores dispuestos uno a lado del otro. Se le representa mediante una disyunción. BASTA QUE UNO DE LOS INTERRUPTORES ESTÉ CERRADO PARA QUE EL FOCO PRENDA

P	Q	p∧q	Circuito Lógico
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0